محاسبه ی لختی دورانی

وقتی توزیع جرم در یک سیستم پیوسته باشد جمع گسسته تبدیل به انتگرال می شود، بنابراین لختی دورانی برابر است با:

(21-10)

که در آن dm جرم یک جزء بسیار کوچک از جسم می باشد که در فاصله ی r از محور دوران قرار دارد.

جدول 10-2، لختی دورانی اجسامی با شکل های هندسی متقارن.

قضیه ی محورهای موازی

قضیه ی محور های موازی رابطه ی بین لختی دورانی حول هر محوری (I) را با لختی دورانی حول محور موازی گذرنده از مرکز جرم (Icom) بیان می کند. این قضیه به شکل زیر بیان می شود:

(22-10)

که در آن M جرم جسم و h فاصله ی بین محور دوران و مرکز جرم است. برای اثبات این قضیه جسم صلبی را در نظر می گیریم که مرکز جرم آن در نقطه ی O قرار دارد (شکل10-8). اگر جسم حول محوری که از نقطه ی P عبور می کند (این محور با محوری که از نقطه ی O عبور می کند موازی است) حرکت دورانی انجام دهد، با توجه به شکل 10-8 می توانیم بنویسیم:

(23-10)

که در آن a و b مختصات نقطه ی Pوxوy مختصات مکان جزءdm نسبت به محور گذرنده از مبدا (در اینجا محور گذرنده از مرکز جرم) است. با کمی محاسبات ریاضی خواهیم داشت:

(24-10)

با توجه به تعریف مرکز جرم متوجه می شویم که دو انتگرال میانی معادله ی بالا مختصات مرکز جرم را می دهند و بنابر فرض ما هر دو باید صفر شوند. انتگرال اول بیانگر لختی دورانی حول محور گذرنده از مرکز جرم است و با توجه به شکل، انتگرال آخر برابر است با Mh2 (وa و b مقادیر ثابتی هستند).