میدان الکتریکی حلقه ی باردار

هنگامی که ما با توزیع پیوسته ی بار سروکار داریم معمولا از واژه ی چگالی بار استفاده می کنیم. برای یک خط باردار از چگالی بار خطی λ ( بار بر واحد طول) و یکای کولن بر متر استفاده می کنیم. برای یک سطح باردار از چگالی بار سطحی σ ( بار بر واحد سطح) و یکای کولن بر مترمربع استفاده می کنیم. برای یک حجم باردار از چگالی بار حجمی ρ ( بار بر واحد حجم) و یکای کولن بر مترمکعب استفاده می کنیم. (جدول 22-1).

شکل 22-8، حلقه ای به شعاع R با بار مثبت یکنواخت به چگالی λ را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی ناشی از این توزیع بار در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز حلقه و در امتداد محور مرکزی آن، ابتدا حلقه را به اجزاء کوچکی با طول (قوس) ds تقسیم می کنیم. بار هر جزء برابر است با:

(11-22)

میدان الکتریکی ناشی از جزء طول ds در نقطه ی P برابر است با:

(12-22)

با توجه به شکل می توانیم بنویسیم:

(13-22)

میدان الکتریکی dE را می توانیم به دو مولفه، یکی عمود بر محور و دیگری در امتداد محور تجزیه کنیم. با توجه به تقارن حلقه، مولفه های عمود با محور یکدیگر را حذف می کنند، و فقط مولفه های موازی با محور باقی می مانند. بزرگی مولفه های موازی dE برابر است با dE cos θ. با توجه به شکل:

(14-22)

بنابراین مولفه موازی میدان برابر است با:

(15-22)

میدان کل را با انتگرال گیری از تمامی اجزاء روی حلقه به دست می آوریم:

(16-22)

از آن جایی λ که بار بر واحد طول است جمله ی λ(2πR) در معادله ی بالا برابر است با بار کلحلقهq . پس می توانیم بنویسیم:

(17-22)

برای نقاط خیلی دور از مرکز حلقه z >> R، جمله ی z2+R2 در معادله ی تقریبا برابر است با z2، بنابراین میدان در چنین نقاطی برابر است با:

(18-22)

که همان میدان ناشی از بار نقطه ای q است. میدان الکتریکی در مرکز حلقه (z = 0) با توجه به معادله ی 22-17، صفر خواهد شد، که این یک نتیجه ی منطقی است چون اگر بار آزمون را در مرکز حلقه قرار دهیم نیروی الکترواستاتیکی خالص وارد شده به آن صفر است.