به کار بردن قانون گاوس: تقارن کروی

در این جا ما با استفاده از قانون گوس اثبات خواهیم کرد که:

"یک پوسته کروی با بار یکنواخت به ذره ی بارداری که در بیرون پوسته کروی قرار دارد به صورتی نیروی جاذبه یا دافعه وارد می کند که گویی همه ی بار پوسته در مرکز آن متمرکز شده است."

و "اگر ذره بارداری درون یک پوسته ی کروی با بار یکنواخت قرار بگیرد، نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف ذره به پوسته وارد نمی شود."

شکل 23-10یک پوسته ی کروی با شعاع R و بار q و دو سطح گاوسی کروی S1 و S2 را نشان می دهد. با به کار گیری قانون گاوس برای سطح S2 جایی که r≥R، خواهیم داشت:

(16-23)

این میدان، مشابه میدان الکتریکی تولید شده توسط یک بار نقطه ای q است. که قضیه اول را اثبات می کند.

با به کار بردن قانون گاوس برای سطح جایی S1 که (r<R)، خواهیم داشت:

(17-23)

چون درون سطح گاوسی باری وجود ندارد، بنابراین اگر باری درون سطح گاوسی قرار گیرد نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف پوسته به آن وارد نمی شود. که قضیه دوم را اثبات می کند.

حالا یک توزیع متقارن کروی بار با چگالی حجمی بار ρ، مانند شکل 23-11را درنظر بگیرید. در شکل23-11 (a)کل بار درون سطح گوسی کروی به شعاع r>R قرار گرفته، بنابراین میدان الکتریکی تولید شده روی سطح گاوسی در این حالت مانند حالتی است که کل بار در مرکز کره متمرکز شده باشد. معادله ی .

شکل 23-9 (b) سطح گاوسی را به شعاع r<R نشان می دهد. میدان الکتریکی روی سطح گوسی در این حالت ناشی از بار قرار گرفته درون سطح گوسی است، اگر مقدار بار درون سطح گوسی برابر qˊ باشد، میدان الکتریکی روی سطح گوسی برابر خواهد بود با:

(18-23)

اگر کل بار یکنواخت q درون شعاع R قرار داشته باشد. و qˊ بار قرار گرفته درون شعاع r باشد، با یک تناسب ساده می توانیم بنویسیم:

(19-23)

یا:

(20-23)

بنابراین میدان الکتریکی برابر است با:

(21-23)

رسانای منزوی باردار

قانون گاوس به ما اجازه می دهد تا قضیه ای مهم درباره ی رساناها را اثبات کنیم:

"اگر بار اضافی روی یک رسانای منزوی قرار داده شود، بار به طرف سطح بیرونی رسانا حرکت می کند. به عبارت دیگر، بار اضافی درون جسم رسانا دیده نمی شود."

شکل 23-5 (a)، یک قطعه ی منزوی از جنس مس را نشان می دهد که بار اضافی q دارد. ما سطح گاوسی را درون رسانا و نزدیک به سطح خارجی رسانا درنظر می گیریم. با توجه به اینکه میدان الکتریکی درون رسانا باید صفر باشد E=0، اگر اینگونه نباشد میدان الکتریکی به الکترون های آزاد درون رسانا نیرو وارد کرده و باعث ایجاد جریان الکتریکی در رسانا می شود. با استفاده از قانون گاوس (چونE=0) مقدار بار درون سطح گوسی برابر با صفر می شود. بنابراین بارهای اضافه شده به رسانا خیلی سریع به گونه ای توزیع می شوند که میدان الکتریکی خالص داخلی صفر شود. سپس حرکت بارها متوقف می شود، چون نیروی خالص وارد شده به آن ها صفر است. دراین حالت بار ها در تعادل الکترواستاتیکی قرار می گیرند.

انرژی پتانسیل دوقطبی الکتریکی

انرژی پتانسیل به جهت گیری دوقطبی الکتریکی در یک میدان الکتریکی بستگی دارد. هنگامی که گشتاور p در جهت میدان باشد، انرژی پتانسیل دوقطبی حداقل مقدار خود را دارد در این حالت گشتاور خالص حول مرکز جرم دوقطبی برابر صفر است. ما دوقطبی را می توانیم شبیه به یک آونگ درنظر بگیریم که حول راستای میدان نوسان می کند. چرخش دوقطبی در میدان الکتریکی مستلزم انجام دادن کار است. با توجه به تعریف انرژی پتانسیل ما می توانیم یک سطح با پتانسیل صفر درنظر بگیریم و اختلاف پتانسیل را نسبت به آن بسنجیم. اگر ما انرژی پتانسیل دوقطبی را زمانی کهθ در شکل 22-12، 90° است برابر با صفر درنظر بگیریم، می توانیم انرژی پتانسیل U دوقطبی را در هر زاویه ای دیگری از θ با محاسبه کاری که میدان الکتریکی برای چرخش دوقطبی به اندازه ی زاویه θ از حالت 90° انجام می دهد محاسبه کرد. بنابراین انرژی پتانسیل در زاویه ی θ برابراست با:

(33-22)

با انتگرال گیری خواهیم داشت:

(34-22)

شکل برداری این معادله برابر است با:

(35-22)

معادله ی 22-35، نشان می دهد که کمینه انرژی پتانسیل برابر است با U = -pE (هنگامی که θ = 0) و بیشینه انرژی پتانسیل برابر است با U = pE (هنگامی که θ = 180°). وقتی دوقطبی از یک جهت گیری اولیه به جهت گیری نهایی می چرخد، کار انجام شده توسط میدان الکتریکی روی دوقطبی برابر است با:

(36-22)

اگر چرخش توسط یک گشتاور خارجی انجام شود. کار انجام شده توسط گشتاور خارجی روی دوقطبی برابر با منفی کار انجام شده توسط میدان الکتریکی است:

(37-22)

میدان الکتریکی قرص باردار

شکل 22-9، قرص دایره ای نارسانایی به شعاع R و چگالی بار سطحی σ (چگالی یکنواخت) را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز قرص و در امتداد محور مرکزی قرص، قرص را به حلقه های تختی با شعاع r و پهنای dr تقسیم می کنیم. از آن جایی که σ بار بر واحد حجم است مقدار بار هر حلقه برابر است با:

(19-22)

که در آن dA مساحت حلقه است. میدان الکتریکی جزئی dE ناشی از هر یک از این حلقه ها با توجه به معادله ی برابر است با:

(20-22)

یا:

(21-22)

ما می توانیم میدان الکتریکی کل را با اتگرال گیری از معادله ی بالا روی سطح قرص بدست آوریم:

(23-22)

برای حل این انتگرال ما قرار می دهیم X=(z2+r2) و dX=(2r)dr تا انتگرال را به شکل زیر تبدیل کنیم:

(24-22)

بنابراین خواهیم داشت:

(25-22)

(26-22)

اگر R→∞ در حالی که z متناهی است. جمله ی دوم در پرانتز معادله ی 22-6 صفر می شود و معادله 22-6 تبدیلی می شود به:

(27-22)

که میدان الکتریکی تولید شده توسط یک صفحه ی نامتناهی با بار یکنواخت را نشان می دهد.

میدان الکتریکی حلقه ی باردار

هنگامی که ما با توزیع پیوسته ی بار سروکار داریم معمولا از واژه ی چگالی بار استفاده می کنیم. برای یک خط باردار از چگالی بار خطی λ ( بار بر واحد طول) و یکای کولن بر متر استفاده می کنیم. برای یک سطح باردار از چگالی بار سطحی σ ( بار بر واحد سطح) و یکای کولن بر مترمربع استفاده می کنیم. برای یک حجم باردار از چگالی بار حجمی ρ ( بار بر واحد حجم) و یکای کولن بر مترمکعب استفاده می کنیم. (جدول 22-1).

شکل 22-8، حلقه ای به شعاع R با بار مثبت یکنواخت به چگالی λ را نشان می دهد. برای پیدا کردن میدان الکتریکی ناشی از این توزیع بار در نقطه ی P به فاصله ی z از مرکز حلقه و در امتداد محور مرکزی آن، ابتدا حلقه را به اجزاء کوچکی با طول (قوس) ds تقسیم می کنیم. بار هر جزء برابر است با:

(11-22)

میدان الکتریکی ناشی از جزء طول ds در نقطه ی P برابر است با:

(12-22)

با توجه به شکل می توانیم بنویسیم:

(13-22)

میدان الکتریکی dE را می توانیم به دو مولفه، یکی عمود بر محور و دیگری در امتداد محور تجزیه کنیم. با توجه به تقارن حلقه، مولفه های عمود با محور یکدیگر را حذف می کنند، و فقط مولفه های موازی با محور باقی می مانند. بزرگی مولفه های موازی dE برابر است با dE cos θ. با توجه به شکل:

(14-22)

بنابراین مولفه موازی میدان برابر است با:

(15-22)

میدان کل را با انتگرال گیری از تمامی اجزاء روی حلقه به دست می آوریم:

(16-22)

از آن جایی λ که بار بر واحد طول است جمله ی λ(2πR) در معادله ی بالا برابر است با بار کلحلقهq . پس می توانیم بنویسیم:

(17-22)

برای نقاط خیلی دور از مرکز حلقه z >> R، جمله ی z2+R2 در معادله ی تقریبا برابر است با z2، بنابراین میدان در چنین نقاطی برابر است با:

(18-22)

که همان میدان ناشی از بار نقطه ای q است. میدان الکتریکی در مرکز حلقه (z = 0) با توجه به معادله ی 22-17، صفر خواهد شد، که این یک نتیجه ی منطقی است چون اگر بار آزمون را در مرکز حلقه قرار دهیم نیروی الکترواستاتیکی خالص وارد شده به آن صفر است.

اثبات معادله ی

فرض کنید با برداشتن تعداد کمی ساچمه از روی پیستون شکل 19-12حجم گاز کامل به اندازه ی dV افزایش می یابد. از آنجایی که تغییر حجم خیلی کوچک است، فرض می کنیم که فرایند در فشار ثابت اتفاق افتاده، بنابراین کار انجام شده توسط گاز برابر است با pdV و قانون اول ترمودینامیک به شکل زیر نوشته می شود:

(58-19)

چون فرایند بی دررو است Q=0 ، و با استفاده از nCVdT به جای dEintمی توانیم بنویسیم:

(59-19)

با استفاده از قانون گاز کامل (pV=nRT) خواهیم داشت:

(60-19)

حالا به جای R ازCp – CV استفاده می کنیم:

(61-19)

یا:

(62-19)

با قرار دادن γ به جای Cp/CV و انتگرال گیری خواهیم داشت:

(63-19)

(64-19)

انبساط آزاد

از آن جایی که فرایند انبساط آزاد فرایندی بی درو است که در آن کاری انجام نمی شود و انرژی درونی گاز تغییر نمی کند، از معادله 19-64 پیروی نمی کند. چون در انبساط آزاد ΔEint=0 دمای حالت اولیه با دمای حالت نهایی یکسان است:

(67-19)

فرض دیگرمان این بود که گاز کامل است، بنابراین(pV=nRT)، چون در حین این فرایند دما تغییر نمی کند، خواهیم داشت:

(68-19)

سرعت متوسط، ریشه ی مجذور میانگین سرعت، و محتمل ترین سرعت

با توجه به قانون توزیع سرعت ماکسول، سرعت متوسط vavg مولکول های گاز برابر است با:

(32-19)

با قرار دادن مقدار P(v) از معادله ی 19-29 و انتگرال گیری (پیوست) خواهیم داشت:

(33-19)

به طور مشابه، برای متوسط مجذور سرعت (v2)avg داریم:

(34-19)

با قرار دادن مقدار P(v) از معادله ی 19-29 و انتگرال گیری (پیوست) خواهیم داشت:

(35-19)

با جذر گرفتن از رابطه بالا، ریشه مجذور میانگین سرعت بدست خواهد آمد:

(36-19)

محتمل ترین سرعت vp، سرعتی است که در آن P(v) بیشینه می شود. برای محاسبه ی vp، ما قرار می دهیم dP/dt=0 و سپس معادله را برای v حل می کنیم:

(37-19)

یک مولکول بیشتر تمایل دارد با سرعت vp نسبت به دیگر سرعت ها حرکت کند.

نوسان واداشته و تشدید

اگر یک نیروی خارجی نوسانی با بسامد زاویه ای ωdروی یک سیستم نوسانی اعمال شود سیستم با بسامد زاویه ای ωd نوسان می کند، چنین نوسانی را نوسان واداشته می نامند. نوسان واداشته شامل دو بسامد زاویه ای است: (1) بسامد زاویه ای طبیعی ω سیستم، که بر اثر جابه جا شدن جسم از موضع تعادل وسپس رها شدن آن تولید می شود، و (2) بسامد زاویه ای ωd نیروی خارجی. معادله جابه جایی برای نوسان واداشته برابر است با:

(40-15)

در نوسان واداشته دامنه ی سرعت بیشترین مقدار را خواهد داشت اگر:

(41-15)

این شرایط تشدید نامیده می شود، همچنین می توان گفت که در شرایط تشدید، دامنه ی نوسان xm (تقریبا) بیشترین مقدار خود را خواهد داشت است.

اثبات معادله برنولی

با توجه به شکل14-12، حجم ورودی از شاره ایده آل (قسمت آبی پرنگ) از حالت اولیه حرکت کرده و به حالت نهایی (قسمت سبز) خود می رسد. با استفاده از قضیه ی کار – انرژی:

(38-14)

که به ما می گوید تغییر در انرژی جنبشی سیستم برابر است با کار خالص انجام شده روی سیستم. تغییر در انرژی جنبشی در نتیجه ی تغییر سرعت در ابتدا و انتهای لوله برابر است با:

(39-14)

کار انجام شده روی سیستم ناشی از دو منبع است. یکی کار Wg ناشی از نیروی گرانش روی جرم Δm در طی حرکت عمودی آن از ابتدا تا انتهای لوله:

(40-14)

و دیگری کار ناشی از نیروی F که برای به حرکت در آوردن شاره در یک لوله به مساحت A و به مسافت Δx به شاره وارد می شود:

(41-14)

کار انجام شده روی سیستم برابر است با p1ΔV و کار انجام شده توسط سیستم برابر است با p2ΔV، بنابراین حاصل جمع این کار ها برابر است با:

(42-14)

بنابراین قضیه ی کار – انرژی به صورت زیر نوشته می شود:

(43-14)

با استفاده از معادلات بدست آمده برای Wg ، Wp و ΔK خواهیم داشت:

(44-14)

که با کمی جابه جایی به معادله ی برنولی می رسیم.

بالابر هیدرولیکی و اصل پاسکال

شکل14-7، نشان می دهد که چگونه اصل پاسکال می تواند اساس کار بالابر (جک) هیدرولیکی باشد. اگر نیروی خارجی روبه پایین Fi به پیستون طرف چپ به مساحت Ai وارد شود، چون شاره تراکم ناپذیر است باعث بالا رفتن پیستون طرف راست به مساحت Ao با نیروی Fo به سمت بالا می شود. تغییرات فشار در این فرایند برابر است با:

(20-14)

بنابراین:

(21-14)

معادله ی بالا نشان می دهد که اگر مساحت Ao بزرگتر از Ai باشد، نیروی تولید شده بیشتر از نیروی وارد شده است. اگر مسافی که پیستون سمت چپ به طرف پایین طی می کند برابر با di و مسافتی که پیستون سمت راست به طرف بال طی می کند برابر با do باشد، با توجه به اینکه حجم شاره تراکم ناپذیر جابه جا شده هر دو طرف، یکسان است. خواهیم داشت:

(22-14)

بنابراین ما می توانیم بنویسیم:

(23-14)

که به نشان می دهد که اگر مساحت Ao بزرگتر از Ai باشد، مسافتی که پیستون سمت راست طی می کند کمتر از مسافتی است که پیستون سمت چپ طی می کند.

کار خروجی برابر است با:

(24-14)

شاره چیست

یک شاره در مقایسه با جامد ماده ای است که می تواند جاری شود (شارش پیدا کند). شاره ها در هر ظرفی بریزند به شکل همان ظرف در می آیند. زیرا شاره ها در برابر نیروی ماس با سطح شان نمی توانند مقاومت کنند. (به عبارت دیگر شاره ها موادی هستند که شارش پیدا می کنند چون نمی توانند در برابر تنش برشی مقاومت کنند). با توجه به این توضیحات نتیجه می گیریم که شاره ها شامل مایعات و گاز ها است.

چگالی و فشار

وقتی درباره ی یک جسم صلب صحبت می شود، کمیت های فیزیکی مفید برای ما، جرم و نیرو است. درحالی که کمیت های فیزیکی مفید برای بررسی شاره ها عبارت است از چگالی و فشار.

چگالی

برای پیدا کردن چگالی یک شاره در هر نقطه، یک جزء حجم کوچک ΔV اطراف نقطه ی آن نقطه درنظر می گیریم و جرم شاره درون آن Δm را اندازه می گیریم. چگالی برابر است با:

(1-14)

اگر چگالی شاره یکنواخت باشد، خواهیم داشت:

(2-14)

که در آن V حجم و m جرم شاره است. چگالی کمیتی اسکالر است و یکای آن در سیستم SI کیلوگرم بر متر مکعب است. توجه داشته باشید که چگالی گازها با فشار تغییر می کند، اما چگالی مایعات تغییر نمی کند. به عبارت دیگر گازها تراکم پذیر هستند در حالی که مایعات تراکم ناپذیر اند.

محاسبه ی لختی دورانی

وقتی توزیع جرم در یک سیستم پیوسته باشد جمع گسسته تبدیل به انتگرال می شود، بنابراین لختی دورانی برابر است با:

(21-10)

که در آن dm جرم یک جزء بسیار کوچک از جسم می باشد که در فاصله ی r از محور دوران قرار دارد.

جدول 10-2، لختی دورانی اجسامی با شکل های هندسی متقارن.

قضیه ی محورهای موازی

قضیه ی محور های موازی رابطه ی بین لختی دورانی حول هر محوری (I) را با لختی دورانی حول محور موازی گذرنده از مرکز جرم (Icom) بیان می کند. این قضیه به شکل زیر بیان می شود:

(22-10)

که در آن M جرم جسم و h فاصله ی بین محور دوران و مرکز جرم است. برای اثبات این قضیه جسم صلبی را در نظر می گیریم که مرکز جرم آن در نقطه ی O قرار دارد (شکل10-8). اگر جسم حول محوری که از نقطه ی P عبور می کند (این محور با محوری که از نقطه ی O عبور می کند موازی است) حرکت دورانی انجام دهد، با توجه به شکل 10-8 می توانیم بنویسیم:

(23-10)

که در آن a و b مختصات نقطه ی Pوxوy مختصات مکان جزءdm نسبت به محور گذرنده از مبدا (در اینجا محور گذرنده از مرکز جرم) است. با کمی محاسبات ریاضی خواهیم داشت:

(24-10)

با توجه به تعریف مرکز جرم متوجه می شویم که دو انتگرال میانی معادله ی بالا مختصات مرکز جرم را می دهند و بنابر فرض ما هر دو باید صفر شوند. انتگرال اول بیانگر لختی دورانی حول محور گذرنده از مرکز جرم است و با توجه به شکل، انتگرال آخر برابر است با Mh2 (وa و b مقادیر ثابتی هستند).

کار انجام شده توسط نیروی متغیر

حالت یک بعدی

هنگامی که نیرو در راستای محور x به جسم وارد شود و مقدار آن نیز با مکان جسم x تغییر کند، مطابق شکل 7-4، اگر نمودار نیرو به صورت تابعی از مکان ترسیم شده باشد، منحنی را به تعداد زیادی قطعه ی کوچک تقسیم می کنیم. اگر نیرو یFj,avg در هر قطعه ثابت باشد، کار انجام شده در jامین قطعه برابر است با:

(22-7)

که تقریبا برابر با مساحت مستطیل هایی به ارتفاع Fj,avg و پهنای Δx .

کل کار انجام شده برابر است با حاصل جمع مساحت های تمامی این مستطیل ها:

(23-7)

و هنگامی کهΔx به سمت صفر میل کند داریم:

(24-7)

بنابراین می توانیم بنویسیم:

(25-7)

حالت سه بعدی

هنگامی که به ذره نیروی سه بعدی وارد می شود:

(26-7)

ذره تحت تاثیر این نیرو به صورت جزئی جابه جا می شود:

(27-7)

کار جزئی انجام شده توسط این نیرو برابر است با:

(28-7)

بنابراین، کل کار انجام شده در حرکت ذره از مکان اولیه ی ri به مکان نهایی rf برابر است با:

(29-7)

مکانیک آماری، یکی از مباحث مطرح در فیزیک است که به سیستم‌هایی با تعداد متغیرهای بسیار زیاد می‌پردازد. این متغیرها می‌توانند ذراتی چون اتمها، مولکولها، یا ذرات بنیادی باشند که تعداد آن‌ها می‌تواند هم‌مرتبه با عدد آووگادرو باشد. در این مبحث، با استفاده از خاصیتهای میکروسکوپی این ذرات مانند ساختار اتمی و برهمکنش بین آنها، اطلاعاتی در مورد خواص ماکروسکوپی سیستم مانند فشار، انتروپی و انرژی آزاد گیبس، از طریق محاسبات و روشهای آماری به دست می‌آید. مثلاً معادله‌های حالت در ترمودینامیک توسط مدلهای میکروسکوپی-آماری مشتق می‌شوند.


هدف مکانیک آماری بررسی آمار توزیع پذیری ذرات در محیط های گوناگون است . یعنی آمار کلاسیکی ماکسول بولتزمن ، آمار بوز – انیشتین و آمار فرمی – دیراک .

توزیع ماکسول–بولتزمن ( Maxwell–Boltzmann distribution )‏ تابعی است که توزیع سرعت ذرات را در گاز مشخص می‌کند. خصوصیت این گاز ایده‌آل این است که در قواصل کوچک به آزادی حرکت می‌کند و حتی برخورد با دیگر ذرات دارد اما برهم‌کنشی ندارد. این توزیع تابعی از دمای سامانه, جرم ذرات, و سرعت ذرات است. ذره در اینجا هم به معنی مولکول و هم به معنی ذره‌است.

توزیع ماکسول–بولتزمن در گاز ایده‌آل نزدیک به تعادل ترمودینامیکی با اثرات کوانتمی ناچیز و سرعت غیرنسبیتی صحیح است. همچنین این توزیع پایه‌های نظریه جنبشی, که خودش توضیحی ساده از خصوصیات بنیادی گازها مانند فشار را توضیح می‌دهد. در سرعت‌های نسبیتی تابع توزیع «ماکسول–جوتنر» استفاده می‌شود.

این توزیع به نام جیمز کلرک ماکسول و لودویگ بولتزمان است.