کار انجام شده توسط نیروی متغیر

حالت یک بعدی

هنگامی که نیرو در راستای محور x به جسم وارد شود و مقدار آن نیز با مکان جسم x تغییر کند، مطابق شکل 7-4، اگر نمودار نیرو به صورت تابعی از مکان ترسیم شده باشد، منحنی را به تعداد زیادی قطعه ی کوچک تقسیم می کنیم. اگر نیرو یFj,avg در هر قطعه ثابت باشد، کار انجام شده در jامین قطعه برابر است با:

(22-7)

که تقریبا برابر با مساحت مستطیل هایی به ارتفاع Fj,avg و پهنای Δx .

کل کار انجام شده برابر است با حاصل جمع مساحت های تمامی این مستطیل ها:

(23-7)

و هنگامی کهΔx به سمت صفر میل کند داریم:

(24-7)

بنابراین می توانیم بنویسیم:

(25-7)

حالت سه بعدی

هنگامی که به ذره نیروی سه بعدی وارد می شود:

(26-7)

ذره تحت تاثیر این نیرو به صورت جزئی جابه جا می شود:

(27-7)

کار جزئی انجام شده توسط این نیرو برابر است با:

(28-7)

بنابراین، کل کار انجام شده در حرکت ذره از مکان اولیه ی ri به مکان نهایی rf برابر است با:

(29-7)