اثبات معادله برنولی

با توجه به شکل14-12، حجم ورودی از شاره ایده آل (قسمت آبی پرنگ) از حالت اولیه حرکت کرده و به حالت نهایی (قسمت سبز) خود می رسد. با استفاده از قضیه ی کار – انرژی:

(38-14)

که به ما می گوید تغییر در انرژی جنبشی سیستم برابر است با کار خالص انجام شده روی سیستم. تغییر در انرژی جنبشی در نتیجه ی تغییر سرعت در ابتدا و انتهای لوله برابر است با:

(39-14)

کار انجام شده روی سیستم ناشی از دو منبع است. یکی کار Wg ناشی از نیروی گرانش روی جرم Δm در طی حرکت عمودی آن از ابتدا تا انتهای لوله:

(40-14)

و دیگری کار ناشی از نیروی F که برای به حرکت در آوردن شاره در یک لوله به مساحت A و به مسافت Δx به شاره وارد می شود:

(41-14)

کار انجام شده روی سیستم برابر است با p1ΔV و کار انجام شده توسط سیستم برابر است با p2ΔV، بنابراین حاصل جمع این کار ها برابر است با:

(42-14)

بنابراین قضیه ی کار – انرژی به صورت زیر نوشته می شود:

(43-14)

با استفاده از معادلات بدست آمده برای Wg ، Wp و ΔK خواهیم داشت:

(44-14)

که با کمی جابه جایی به معادله ی برنولی می رسیم.