به کار بردن قانون گاوس: تقارن کروی

در این جا ما با استفاده از قانون گوس اثبات خواهیم کرد که:

"یک پوسته کروی با بار یکنواخت به ذره ی بارداری که در بیرون پوسته کروی قرار دارد به صورتی نیروی جاذبه یا دافعه وارد می کند که گویی همه ی بار پوسته در مرکز آن متمرکز شده است."

و "اگر ذره بارداری درون یک پوسته ی کروی با بار یکنواخت قرار بگیرد، نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف ذره به پوسته وارد نمی شود."

شکل 23-10یک پوسته ی کروی با شعاع R و بار q و دو سطح گاوسی کروی S1 و S2 را نشان می دهد. با به کار گیری قانون گاوس برای سطح S2 جایی که r≥R، خواهیم داشت:

(16-23)

این میدان، مشابه میدان الکتریکی تولید شده توسط یک بار نقطه ای q است. که قضیه اول را اثبات می کند.

با به کار بردن قانون گاوس برای سطح جایی S1 که (r<R)، خواهیم داشت:

(17-23)

چون درون سطح گاوسی باری وجود ندارد، بنابراین اگر باری درون سطح گاوسی قرار گیرد نیروی خالص الکترواستاتیکی از طرف پوسته به آن وارد نمی شود. که قضیه دوم را اثبات می کند.

حالا یک توزیع متقارن کروی بار با چگالی حجمی بار ρ، مانند شکل 23-11را درنظر بگیرید. در شکل23-11 (a)کل بار درون سطح گوسی کروی به شعاع r>R قرار گرفته، بنابراین میدان الکتریکی تولید شده روی سطح گاوسی در این حالت مانند حالتی است که کل بار در مرکز کره متمرکز شده باشد. معادله ی .

شکل 23-9 (b) سطح گاوسی را به شعاع r<R نشان می دهد. میدان الکتریکی روی سطح گوسی در این حالت ناشی از بار قرار گرفته درون سطح گوسی است، اگر مقدار بار درون سطح گوسی برابر qˊ باشد، میدان الکتریکی روی سطح گوسی برابر خواهد بود با:

(18-23)

اگر کل بار یکنواخت q درون شعاع R قرار داشته باشد. و qˊ بار قرار گرفته درون شعاع r باشد، با یک تناسب ساده می توانیم بنویسیم:

(19-23)

یا:

(20-23)

بنابراین میدان الکتریکی برابر است با:

(21-23)